4. Performance of Lattice Codes over the Gaussian Channel

We derive an upper bound on the error probability of lattice codes combined with quadrature amplitude modulation over the additive Gaussian noise channel.
This bound depends on a lattice figure of merit and it is readily put in exponential form by using Chernoff bound. An interesting lower bound is derived
by a similar reasoning. We also examine the estimation of the average information rate based upon the continuous approximation of the average power
normalized to two dimensions, and suggest improving it by using the sphere packing idea. Examples of performance evaluation are given for a few lattices.
Finally, we present upper and lower bounds on the best fundamental coding gains per dimension due to both density and thickness for an arbitrary large
number of dimensions. It is shown in the appendix that, as the Ungerboeck codes, the lattice codes do not shape the signal power spectrum.

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On établit une borne supérieure de la probabilité d´erreur d´un code défini par un treillis de points combiné à la modulation d´amplitude en quadrature,
sur le canal à bruit additif gaussien et blanc. Cette borne dépend d´un facteur de mérite du treillis et peut être facilement mise sous la forme exponentielle
de Chernoff. Une intéressante borne inférieure est obtenue par un raisonnement similaire. On examine aussi l´estimation du débit d´information basée
sur la approximation continue de la puissance moyenne normalisée à deux dimensions. On suggère de l´améliorer en utilisant l´idée d´empilement de sphères.
Des examples d´évaluation des performances sont donnés pour quelque treillis. On présente finalement des bornes inférieure et supérieure des meilleurs
gains de codage fondamentaux par dimension, déduits de la densité et de l´éppaisseur, pour un nombre de dimensions arbitrariement grand.
On montre dans l´annexe que les codes en treillis, comme ceux d´Ungerboeck, n´ont pas d´effet sur la forme du sprectre de puissance des signaux.