UNE BRÈVE CAUSERIE À PROPOS DE LA MATHÉMATIQUE...
Par H.M. de
Oliveira, Université Fédérale de Pernambouc. 2010
Associado
efetivo da Aliance Française à Recife-Brésil.
Gauss, al-Khwarizmi, Euclide, Pascal, Euler,
Descartes, Cauchy, Fourier, Laplace, Newton et Leibniz on les connait bien ou
du moins sont des matheux dont on a déjà entendu parlé. Mais, et les maths un peu plus récent ? Qu'at-on
fait ? Est-il la France bien placé à propos de nouveau dévelopments de la
mathématique ? Voici une fênetre ouverte sur deux sujets qui veulent à
peine en savoir plus : «Les matheux contemporains
lauréats» et «L'Histoire d'un mathématicien qui n'a jamais existé». Bien entendu, je
dois tout d´abord préciser que je ne suis pas un mathématicien, et donc je
vous demande de n´est pas me prendre en tant qu'expert. Quoi qu'il en soit, j'espère juste que vous pouvez apprécier ou
développer l'intérêt pour un sujet intéressant... Après tout, un peu de
connaissance ou de la soupe au poulet n'a jamais tué
personne !
Médaille Fields |
|
Décerné pour exceptionnelles en mathématiques |
La médaille
officiellement connue sous le nom international de Médaille Fields –
souvent décrite comme le «prix Nobel des mathématiques» pour le prestige
qu'elle exerce – est souvent considérée comme la plus haute distinction qu'un mathématicien peut recevoir. Fondée à l'initiative
du mathématicien Canadian John Charles Fields, son but est de donner une
reconnaissance et un soutien aux jeunes chercheurs mathématiciens qu'ont apporté des découvertes remarquables en
mathématiques. Le prix est décerné à deux, trois, ou quatre mathématiciens (les
récipiendaires doivent avoir moins de 40 ans) à l'occasion
de chaque Congrès de l'Union internationale de mathématique (IMU), un meeting
qui se tient lieu tous les quatre ans. Parmis les universités et instituts de recherches
de maths, le plus renommé dans le monde est peut être l´Institut de Hauts
Etudes Scientifiques (IHES, Paris).
La médaille a
été conçu par le sculpteur canadien Tait McKenzie. Voici les détails :
•Sur l'avers on trouve Archimède et une
citation attribuée à lui qui se lit en latin:
«suum pectus passavant potiri mundoque»
Traduction: S'élever au-dessus de soi et
saisir le monde.
•Sur le revers l'inscription qui se lit en
latin:
«Congregati ex Toto Orbe Mathematici ob
Scripta Insignia Tribuere»
Traduction: mathématiciens du monde entier se sont réunis pour honorer un travail remarquable.
Classement par pays jusqu´à 2010
France et
Belgique 13
États-Unis
13
l'Union Soviétique
9 (*)
Royaume-Uni
6
Japon
3
Répertoire de mathématiciens francophones titulaires de cette prestigieuse
médaille
1950 Laurent
Schwartz (Nancy)
1954 Jean-Pierre Serre (CNRS)
1958
René Thom (IHES)
1966
Alexandre Grothndieck (IHES)
1978
Pierre René Deligne (Belgique IHES)
1982
Alain Connes (IHES)
1994
Jean Bourgain (Belgique)
Pierre-Louis Leens (Paris-Dauphine)
Jean-Christophe Yoccoz (Paris-Sud)
1998 Maxin
Kontsevich (Russie, IHES)
2002
Laurent Lafforge (IHES)
2006
Wendelin Werner (Paris-Sud)
2010
Ngô Băo Châu (Paris-Sud, IHES)
Cedric Villani (Lyon).
Statistiquement, le berceau des mathématiciens
contemporains les plus influents comprend notamment les États-Unis, la France
et l'Union Soviétique. (*) Un autre cas qui mérite une
mention implique Grigory Perelman le mathématicien a décidé que le théorème
connue comme «la conjecture de
Poincaré». Il a été indiqué à
la médaille Fields, et à un prix de l'Institut Clay de mathématiques,
États-Unis (pas moins de U$ 1,000,000), mais il a réfusé les deux !
L'histoire d'un mathématicien qui n'a jamais
existé... |
Au milieu des années 1930,
un groupe de jeunes mathématiciens français, des anciens élèves de l'École
Normale Supérieure, devant l'insuffisance des ouvrages alors proposés,
décide d'une entreprise colossale: remettre à plat les mathématiques, réécrire
tout ce qui est utile. L'ambition de ces jeunes mathématiciens était de
réconstruire tout l'édifice mathématique selon la pensée formaliste de David
Hilbert (dans la triade formalisme, logicisme, intuitionnisme). Nicolas
Bourbaki est le nom fictif, sous lequel ce groupe de mathématiciens
francophones, formé sous l'impulsion d'André Weil, a commencé à écrire et
éditer des textes mathématiques à la fin des années 1930. L'objectif premier
était la rédaction d'un traité d'analyse. Le groupe Bourbaki naît dans un café
parisien par une dizaine de mathématiciens, et il a joué un rôle déterminant
dans les mathématiques. Sous ce pseudonyme, il produira Éléments de
mathématique (un nom qui n'est pas sans rappeler Euclide) qui influencera
non seulement les maths, mais l'enseignement de celles-ci (ce qu'on appellera
plus tard de mathématique moderne). Partisan de l’unité des mathématiques – le
traité de Bourbaki s’appelle «Eléments de mathématique», où le singulier
de « mathématique» se veut affirmation de son unité. On lui doit
d’avoir contribué à mettre au cœur des mathématiques la notion de structure. Un
immense ouvrage d'une quarantaine de volumes fut édité. Ils furent
divisés en 10 Livres (plus de 7000 pages !), eux-mêmes divisés en nombreux
fascicules. Ils ont été réédités chez Masson et chez Springer-Verlag:
Livre
I: Théorie des ensembles
Livre II: Algèbre
Livre III: Topologie générale
Livre IV: Fonctions d'une variable réelle
Livre V: Espaces vectoriels topologiques
Livre VI: Intégration
Livre VII: Algèbre commutative
Livre VIII: Variétés différentielles et analytiques
Livre IX: Groupes et algèbres de Lie
Livre X: Théories spectrales
Le groupe s'est
constitué en societé anonyme, l'Association des amis de Nicolas Bourbaki,
le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant de
générations. Chaque été, ce groupe se réunit pour mettre au point un traité,
les Eléments de Mathématique, véritable bible qui a imposé une profonde
réorganisation et clarification des mathématiques. Une limite d'âge est fixée
aux membres du groupe, et de nouveaux membres plus jeunes remplacent les
anciens. Or, si ce fonctionnement rend M. Bourbaki immortel, l'évolution
considérable des maths au cours du vingtième siècle rend le projet quelque
utopique.
La naissance d´un mathématicien virtuelle
Deux jeunes conférenciers à l'Université de
Strasbourg discutent des question d'enseignement. Ils sont Henri Cartan, qui a
29 ans et a enseigné à Strasbourg depuis 1931, et André Weil (agée 27) qui a
été nommé en 1933. L'année est 1934 et pendant des semaines, Cartan demanda à
Weil comment il allait enseigner les différents aspects du calcul différentiel
et intégral. Weil, comme Cartan, est mécontent du texte recommandé, Le Traité
d'Analyse (autheur : Édouard Goursat , celui même du théorème de
Cauchy-Goursat), et a laissé entendre à lui de meilleures façons d'introduire
des concepts dans le calcul. Henri Cartan et André Weil vont régulièrement à
Paris. En général, ils s'y rendent chaque deuxième lundi d'assister au
séminaire de mathématiques à l'Institut Henri-Poincaré. Ce n'est pas
seulement se donner la chance de rendre visite aux librairies et
bibliothèques, mais aussi pour rencontrer d'autres anciens élèves de l'École
Normale Supérieur. Ils se réunissent régulièrement pour le déjeuner avec
leurs amis au Café Capoulade, boulevard Saint-Michel à proximité du Jardin du
Luxembourg. Là bas, Weil parle avec du enthousiasme de son idée pour un
nouveaux texte sur l'analyse, tout en demandant l´avis à ses copains et
s'ils avaient envie d'y contribuer. Ils conviennent de se réunir à midi
le lundi 10 Décembre 1934 à fin de discuter officiellement les idées de Weil.
Les mathématiciens Henri
Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel et
André Weil qui se réunissent au Café Capoulade sont fort conscients des
questions de base des mathématiques.Les jeunes mathématiciens français des
années 1930 ont été enseignées par des professeurs qui arrivaient à la fin de
leur carrière : Il y avait une génération manquante de professeurs en
France. Weil, enflamé, a fait sa proposition ambitieuse : «... définir
le programme de certificat en calcul différentiel et intégral par écrit,
collectivement, un traité sur l'analyse. Bien sûr, ce traité sera aussi moderne
que possible, avec de l'utilisation de traitement élégant, notations et
terminologie rigoureux et bien conforme». Les autres membres de la
réunion du groupe sont aussi enthousiastes que l'auteur. Ils parlent alors
d'écrire un livre de 1000 pages qui sera publié dans les six mois (Il paraît
décisif à cette étape que leur travaux soient vite rendu disponibles). Ils
décident de se donner rendez-vous régulièrement au Café Capoulade. Ils entament
une conversation animée sur les sujets à couvrir et l'ordre dans lequel ils
doivent y apparaître. C'est du moins leur fait prendre conscience de l'ampleur
de la tâche et ils découvrent aussitot qu'il ne sera pas sans peine de parvenir
à un consensus, mais il n'y a pas d'autre issue que la majorité – tous doivent
accepter toutes les décisions. Après avoir choisi pour eux-mêmes le titre de
«Comité pour le Traité d'analyse», ils ont prévue la date de la prochaine
réunion. Lors de cette deuxième réunion, le Comité a décidé de limiter
l'adhésion à neuf mathématiciens, les six que on a énuméré ci-dessus et Paul
Dubreil, Jean Leray et Szolem Mandelbrojt. Dubreil et Leray, cependant, n'ont
pas participé pour longtemps. Charles Ehresmann a été invité à se joindre à la
place de Leray, tandis que Jean Coulomb, qui était un collègue de physique de
Mandelbrojt et de Possel à Clermont-Ferrand, a été invité à se joindre à la
place de Dubreil.
Le nom de Bourbaki était un nom emprunté par Raoul
Husson en 1923 lors d'un canular (André Weil était un étudiant à l'École
Normale Supérieur). Un exposé a été annoncé que tous les étudiants de première
année ont été encouragés à y assister. Le conférencier était Husson, un
étudiant de cycle supérieur (vétéran), qui s'est déguisé en un mathématicien
l´air distingué. Il avait pris l'apparence d'un mathématicien barbu, du nom M.
le professeur Holmgren, pour donner la fausse conférence, volontairement
incompréhensible et avec des raisonnements subtilement faux. Husson a prononcé
l'exposé dans un fort accent étranger, ce qui a fait doré la pilule. Il a
présenté une série de théorèmes, tous faux, chacun attribué à un mathématicien
imaginaire différent. Les noms des théorèmes ont été prises à partir de
different généraux français, et le théorème finale le plus ridicule, il avait
nommé «le théorème de Bourbaki», prenant le nom du général Bourbaki. L'humour
de cette sorte amusa tellement tous les membres du groupe de la conception du
Traité d'analyse que le nom « Bourbaki » fut choisi. Bourbaki
devient alors le nom de plume de ceux jeunes mathématiciens qui se mettent à
publier un ouvrage encyclopédique couvrant la plupart des mathématiques
modernes.
A cette circonstance là, la tâche de bâtir une
liste de sujets pour le Traité d'analyse a été partagée entre divers
sous-comités. Une décision qui allait devenir une devenir une caractéristique
de leur philosophie, c'est qu'il devrait y avoir la participation de
non-spécialistes sur chaque sous-comité (une très bonne – heureuse
idée !), dont la plupart avaient trois membres. Un grand nombre de sous-comités
ont été formés, étant donné la taille du groupe, et ces derniers devaient
couvrir les sujets suivants: algèbre, fonctions analytiques, théorie de
l'intégration, équations différentielles, théorèmes d'existence pour les
équations différentielles, équations aux dérivées partielles, les écarts et les
formes différentielles, calcul des variations, des fonctions spéciales, la
géométrie, la série de Fourier, et des représentations de fonctions. Bientôt un
sous-comité topologie a été ajouté. Les maths modernes partage avec Bourbaki le
désir de remplacer les calculs pour des idées. La mathématique : « On
distribue les noms de théorèmes comme les noms de rues » aurait
déclaré Weil !
À l'été 1935, le groupe avait déjà décidé qu'il
écrirait sous le nom de Nicolas Bourbaki. Certes, le nom vient de Charles Soter
Bourbaki (1816-1897), un général français qui avait combattu dans la guerre
franco-prussienne de 1870. Il semblerait que Nicolas a été une référence
classique pour un héros de la Grèce antique dont le général Bourbaki était
descendu.
Autre leçon de l'humour de ses membres, qui se
rapporte au pseudonyme qu'ils avaient choisi, est leur réaction à une note
écrit par RP Boas, le rédacteur en chef de Mathematical Reviews. Boas a
expliqué à ses lecteurs que Nicolas Bourbaki est le pseudonyme d'un groupe de
jeunes mathématiciens français. Peu de temps après, l'éditeur a reçu une lettre
très ferme de M. Nicolas Bourbaki en s'opposant violemment que quelq'un ait
ousé de douter de son existence.
Le premier colloque Bourbaki a eu lieu à
Besse-en-Chandesse en Juillet 1935. Il a été le premier de ce qui deviendra des
réunions régulières, habituellement trois fois par année. La description de ces
congrès par les membres fondateurs de Bourbaki sont fascinants. Dieudonné a écrit
que l'impréssion de toute personne y participant pour la première fois
serait :
Ils ne pouvaient pas imaginer à quel point
ces gens, en criant – parfois trois ou quatre en même temps – ne pourrait
jamais arriver à quelque chose d'intelligent. Il est peut-être un mystère, mais
tout s'apaisissait à la fin.
André Weil a
écrit à propos du caractère anarchique (ah Pierre Proudhon!) du congrès :
[Nous avons maintenu]
dans nos discussions, un caractère désorganisé. Lors d'une réunion du groupe,
il n'y a jamais eu un président. Toute personne qui veut parle et tout le monde
a le droit de l'interrompre ... Le caractère anarchique de ces discussions a
été maintenue tout au long de l'existence du groupe ... Une bonne organisation
aurait sans doute la nécessité que tout le monde se voir attribuer un sujet ou
un chapitre, mais l'idée de le faire ainsi n'a jamais eu lieu pour nous ...
Il y avait, quand même,
certaines des décisions claires prises par le groupe Bourbaki sur la façon de
présenter les mathématiques qui définissent le modèle dont toute l'œuvre se
développe. D'abord, ils décidèrent de fonder leur présentation de mathématiques
sur la méthode axiomatique (une adhérence sans compromis). Henri Cartan
explique les conséquences de celle-ci :
La décision d'utiliser la méthode
axiomatique apporte avec elle le besoin d'un nouveaux arrangement de «diverses
branches des maths». Il s'est avéré impossible de conserver la division
classique en analyse, le calcul différentiel, la géométrie, l'algèbre, la
théorie des nombres, etc. Sa place a été prise par la notion de structure, ce
qu'a permis l'usage de la notion d'isomorphisme et avec elle, une nouvelle
classification des disciplines dans les mathématiques.
En outre, il a
été décidé que Bourbaki ne pourrait jamais généraliser à partir de cas
particuliers, mais serait toujours en déduire des cas particuliers à partir des
cas plus généraux. La conséquence de cette approche a été une forte logique de
commande sur la façon dont le bâtiment mathématique a été conçu. Pour beaucoup,
cela fut un atout majeur de l'approche fort logique, mais pour d'autres, elle
constitue une faiblesse majeure dans le cadre des nombres réels (qui ont une
valeur fondamentale !).
Déjà en 1935, Bourbaki avait pris la décision de produire
une série de livres qui ont été ordonnées dans le sens là que personne ne
pourrait être fait référence à l'exception des livres plus tôt dans la
progression linéaire. En outre, aucune des références pourraient être apportées
au matériel à l'extérieur. Le groupe Bourbaki voulait construire des
mathématiques à partir de zéro dans leur travail (faire de la tabula rasa – oui,
M. Descartes !). La seule exception à cela se trouve dans les notes
historiques dont ils ont inclus. Bien que les livres devaient être ordonnées de
façon linéaire, ils n'ont pas été publiés dans l'ordre. Toutefois, si les
références devaient être seulement à des textes qui sont sortis plus tôt dans
la séquence, il serait nécessaire de connaître ce que les premiers bouquins
contiennent pour permettre d'aller sur les livres suivants. Il a fallu beaucoup
plus longtemps que les membres de Bourbaki avaient envisagé en 1935 pour que la
matière première soit publiée, ce qui n'a pas eu lieu jusqu'en 1939. Un titre
était requis. Armand Borel explique le titre subtil qui a été choisi pour
l'ensemble du travail : Il est à noter qu'ils ont choisi
«Mathématique» plutôt que le plus habituel "Mathématiques". L'absence
du "s" était bien sûr tout à fait intentionnelle, une façon pour
Bourbaki pour signaler sa croyance en l'unité des mathématiques.
La première publication
est un bouquin contenant la notation de la théorie des ensembles. Eilenberg a
examiné ce fascicule et a écrit :
Bourbaki est un
nom de plume d'un groupe de jeunes mathématiciens français qui se mettent à
publier un ouvrage encyclopédique couvrant la plupart des mathématiques
modernes. Ce numéro est consacré à la théorie des ensembles. Le but est de
donner au lecteur intéressé par l'un des autres volumes de l'ensemble, le
soutien théorique nécessaire, sans se soucier d'une approche axiomatique
rigoureuse et les preuves; en fait le matériel est disposé de manière que la
plupart des épreuves peuvent être effectuées facilement ... La dernière section
décrit une méthode de traitement de structures, telles que l'ordre, la
topologie, les groupes, les anneaux, etc., sur une base générale et ayant des
concepts comme isomorphisme définis d'une façon tout à fait générale.
Après la fin de la Seconde Guerre mondiale, il a pris un
laps de temps pour la France faire les travaux de Bourbaki à aller de l'avant à
nouveau ; toutefois, une fois qui nouveaux membres ont été recrutés, il
est allé de l'avant avec une vigueur renouvelée. Cet auteur polycéphale,
cachera des noms aussi prestigieux que René Thom, Laurent Schwarz, Jean-Pierre Serre, Serge
Lang, Alexandre Grothendieck,
Alain Connes,
Jean-Christophe Yoccoz.
C´est-à-dire, beaucoup de lauréats de la Médaille Fields.
Si vous êtes d'une autre époque (comme moi), certainement vous vous
rapellez des changements alors de l'introdution de la Mathématique modernes au liceu : la théorie des
ensembles ? Qu'est-ce que
c'est ce bazar ? Cépendant,
soutenu par les idéaux originaires et entraînée par l'aspiration de Weil,
l'école Bourbaki atteint sa destinée. Le rayonnement de Bourbaki ne tint pas qu'à ses ouvrages, mais aussi à la qualité exceptionnelle de
ses membres. Les noms des membres actuels ( ?) de Bourbaki sont tenus plus
au moins en secret... On peut clore cet article par des citations de
Weil : «Si la logique est l'hygiène des mathématiques, ce n'est pas sa
source de nourriture» ; « Dans l'avenir, comme dans le passé,
de grandes idées devraient simplifier les idées... ».
REFERENCES
http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/jcfields/fields_medal.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
[1] Nicolas Bourbaki, 1969, Éléments d’histoire des mathématiques, Paris,
Hermann, 323 p. (reédition 1997, Paris, Masson, ISBN 2-2258-0320-x).
[2]
Jean Dieudonné, 1977, Panorama des
mathématiques pures : le choix bourbachique,
Paris,
Gauthiers-Villars, 306 p. (reédition 2003,
Paris, Éditions Jacques Gabay
306 p.) http://www.gabay.com/PDF/Tarif2009.pdf(grand prix
du rayonnement de la langue française).
J´ai eu moi même
le três grand plaisir de faire connaissance à M. Gabay... Et lui dire:
bravo!
[3] Jean Dieudonné, 1978, Abrégé d’histoire des mathématiques : 1700–1900,
Paris, Hermann, 2 vol. (réédition 1996, Paris,
Hermann, 517 p., ISBN 2-7056-6024-0) Fantastique!
[4] Marcel Berger, 2006, Cinq Siècles
de Mathématiques em France,
Ministère des Affaires étrangères,
Direction de la Coopération culturelle et du Français
http://www2.ee.ufpe.br/codec/matematicosfranceses.pdf
[5] Mireille Martin-Deschamps and Patrick
Le Tallec, 2002, L´éxplosion de Mathématiques (SMAI), ISBN
2-85629-120-1 http://www2.ee.ufpe.br/codec/smf-smai_explo-maths_en.pdf
[6] Maurice Mashaal, 2000, Bourbaki, une société secrète de mathématiciens, Pour la science,
«
Les génies de la science », no 2, février–mai, Paris, 98 p., ISBN 1298-6079.
[7] Carl Riehm, 2002 « The Early History
of the Fields
Medal », Notices of the American
Mathematical Society,
vol. 49, no 7, août
2002, Providence, p. 778–780.
Article de vulgarisation soutenue à :
La Pensée, Jornal da Aliança Francesa do
Recife, Décembre, 2010.
H.M. de Oliveira, ancien elève de l´École Nationale
Supérieure, ENST Paris.