UMA BREVE CONVERSA SOBRE A MATEMÁTICA...



HM de Oliveira, Universidade Federal de Pernambuco. 2011

Associado Efetivo da Aliance Francesa em Recife-Brasil.


Gauss, al-Khwarizmi, Euclides, Pascal, Euler, Descartes, Cauchy, Fourier, Laplace, Newton e Leibniz nós lhes conhecemos, ou pelo menos são matemáticos sobre os quais já ouvimos falar. Mas sobre a matemática mais recente? O que foi feito? Estaria a França bem situada com relação aos (novos) desenvolvimentos da matemática? Eis aqui uma janela sobre dois temas que vale a penas saber um pouco mais: "Matemáticos contemporâneos laureados" e "A história de um matemático que nunca existiu." Claro, devo inicialmente revelar que eu não sou matemático, por isso impetro que não me tomem por especialista. Enfim, eu só espero que vocês possam apreciar ou acrescer algum interesse em um tópico interessante... Afinal, um pouco de conhecimento ou canja de galinha nunca fez mal a ninguém!

 

Medalha Fields


Concedida aos excepcionais em matemática


A medalha oficial e internacionalmente conhecida como Medalha Fields - muitas vezes referida como o "Prêmio Nobel de Matemática" pelo o prestígio que ela é detentora - é freqüentemente considerada como a maior honraria que um matemático pode receber. Fundada por iniciativa do matemático canadense John Charles Fields, sua finalidade é propiciar reconhecimento e apoio aos jovens pesquisadores matemáticos que fizeram descobertas matemáticas notáveis. O prêmio é concedido a dois, três ou até quatro matemáticos (os beneficiários devem todos ter idade inferior a 40 anos) por ocasião de cada congresso da União Internacional de Matemática (IMU), um evento que é realizado a cada quadriênio. Entre as universidades e institutos de pesquisa em matemática, o mais conhecido no mundo é provavelmente o Instituto Universitário de Estudos Científicos (IHES, Paris).

 

A medalha foi projetada pelo escultor canadense Tait McKenzie. Aqui vão alguns detalhes:


• No anverso, vêem-se Arquimedes e uma citação a ele atribuída: "Suum pectus passarela potiri mundoque"

Tradução: Levanta-te acima de ti e compreenda o mundo.


•No reverso, lê-se a inscrição em latim: "Congregati ex Toto Orbe ob mathematici Scripta tribuere Insignia".

Tradução: matemáticos de todo o mundo reunidos para homenagear um trabalho excepcional.

 

Classificação por países até 2010

França e Bélgica 13
EUA 13
União Soviética 9 (*)
Reino Unido 6
Japão 3

Lista dos matemáticos francofônicos detentores desta prestigiosa medalha

 

1950 Laurent Schwartz (Nancy)
1954 Jean-Pierre Serre (CNRS)
1958 René Thom (IHES)
1966 Alexander Grothndieck (IHES)
1978 Pierre René Deligne (IHES Bélgica)
1982 Alain Connes (IHES)
1994 Jean Bourgain (Bélgica)
          Pierre-Louis Leens (Paris Dauphine)
          Jean-Christophe Yoccoz (Paris-Sud)
1998 Maxin Kontsevich (Rússia, IHES)
2002 Laurent Lafforge (IHES)
         Wendelin Werner 2006 (Paris-Sud)
2010 Ngo Bao Chau (Paris-Sud, IHES)
          Cedric Villani (Lyon).

 


Estatisticamente, o berço dos matemáticos atuais mais influentes inclui certamente os EUA, a França e a União Soviética. (*) Outro episódio que merece destaque envolve Grigory Perelman, o matemático que demonstrou o teorema conhecido como "a conjectura de Poincaré". Ele foi indicado como recipiente da Medalha Fields, e o prêmio do Instituto Clay de Matemática, EUA (nada menos que U $ 1.000.000), mas ele recusou ambos!

 

A história de um matemático que nunca existiu...

 

Em meados da década de 1930, um grupo de jovens matemáticos franceses, ex-alunos da École Normale Supérieure, em face da insuficiência de livros disponíveis, decide enfrentar uma grande empreitada: passar a limpo a matemática e reescrever tudo que fosse útil. A ambição destes jovens matemáticos era reconstruir todo o edifício de acordo com o pensamento formalista de David Hilbert (na tríade: formalismo, logicismo intuicionismo. Quem já estudou?). Nicolas Bourbaki é o nome fictício com o qual este grupo de matemáticos, formado sob a liderança de André Weil, começou a redigir e editar textos de matemática no final dos anos 1930. O objetivo inicial era a elaboração de um tratado de análise. O grupo Bourbaki nasceu em um café parisiense com uma dúzia de matemáticos, e desempenhou papel fundamental na matemática. Sob este pseudônimo, ele produziu “Elementos de Matemática” (um nome que lembra a obra de Euclides), que iria influenciar não só a matemática, mas a forma de ensiná-la (o que viria a ser chamado de matemática moderna). Partidários da unidade da matemática – o Tratado de Bourbaki chamado "Elementos de Matemática" – adota o singular para o termo "matemática", destinando-se a afiançar sua unidade. Ele contribuiu para explicitar, em matemática, a noção de estrutura. Um enorme livro de quarenta volumes foi publicado. Eles foram divididos em 10 tomos principais (mais de 7000 páginas!), estes subdivididos em numerosos folículos. Eles foram reimpressos pelas editoras Masson e Springer Verlag:



Livro I: Teoria dos Conjuntos
Livro II: Álgebra
Livro III: Topologia Geral
Livro IV: Funções de uma variável real
Livro V: espaços vetoriais topológicos
Livro VI: Integração
Livro VII: Álgebra Comutativa
Livro VIII: Variedades diferenciais e analíticas
Livro IX: Grupos e Álgebras de Lie
Livro X: Teoria Espectral

 

O grupo constituiu uma sociedade anônima, a “Associação dos amigos de Nicolas Bourbaki”, em 30 de agosto de 1952. Sua composição vem sendo alterada por sucessivas renovações através de gerações. Todo verão, o grupo reunia-se para finalizar um tratado, “Elementos de Matemática”, uma verdadeira bíblia, que impôs uma profunda reorganização e esclarecimento sobre a matemática. Um limite de idade foi estabelecido para os membros do grupo, devendo novos membros mais jovens substituir os antigos. No entanto, se este procedimento torna o Sr. Bourbaki imortal, a considerável evolução da matemática no Século XX tornou utópico tal projeto.

 

 

Os membros fundadores l'École-Bourbaki


    * André Weil
    * Henri Cartan
    * Claude Chevalley
    * Jean Coulomb
    * Jean Delsarte
    * Jean Dieudonné
    * Charles Ehresmann
    * Possel René
    * Mandelbrojt Szolem

 


O nascimento de um matemático virtual


Dois jovens professores universitários em Estrasburgo discutem sobre a educação. Eles são Henri Cartan, com 29 anos e que ensina em Estrasburgo desde 1931, e André Weil (27 anos), nomeado em 1933. O ano é 1934 e durante semanas, Cartan indaga a Weil como ele iria lecionar os diversos aspectos do cálculo diferencial e integral. Weil, tal como Cartan, está insatisfeito com o texto recomendado, o tratado de análise (autor: Édouard Goursat, aquele mesmo do teorema de Cauchy-Goursat), e sugeriu-lhe melhores maneiras de introduzir conceitos de cálculo. Henri Cartan e André Weil vão regularmente à Paris. Normalmente, eles lá comparecem todas as segundas-feiras, a fim de participar do seminário de matemática do Instituto Henri Poincaré. Não apenas para ter a oportunidade de visitar livrarias e bibliotecas, mas também para se encontrar com outros ex-alunos da Escola Normal Superior. Eles se reúnem para almoçar com colegas no Café Capoulade, Boulevard Saint-Michel, perto dos Jardins de Luxemburgo. Lá, Weil fala com entusiasmo sobre sua idéia para novos textos de análise, além de solicitar a opinião de seus amigos e perguntar se eles queriam contribuir. Eles concordam em um encontro ao meio-dia da segunda-feira, dia 10 de dezembro de 1934, para discutir seriamente as idéias de Weil.

 
Os Matemáticos Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel e André Weil, que se encontram no Café Capoulade estão conscientes das questões básicas da matemática. Os jovens matemáticos franceses da década de 1930 tiveram professores em final de carreira: Houve um período com enorme falta de professores na França. Weil, inflamado, fez a sua proposta ambiciosa: "... definir instruções escritas para cálculo diferencial e integral, coletivamente, i.e., um tratado sobre análise. Naturalmente, este tratado deveria ser tão moderno quanto possível, com o uso de tratamento elegante, notações e terminologia coerentes e rigorosas." Os outros membros da reunião do grupo ficaram tão entusiasmados quanto o autor. Eles falam em redigir um livro de 1.000 páginas a ser publicado em seis meses (parece crucial nesta etapa que o trabalho fosse disponibilizado com brevidade). Eles decidem realizar encontros regulares no Café Capoulade. E começam uma discussão animada sobre os temas a abordar e sobre a ordem em que eles deveriam aparecer. Isso, pelo menos, torna clara a magnitude da tarefa e logo eles descobrem que não será fácil chegar a um consenso, e que não há outra opção a seguir que a maioria – todos devem aceitar as decisões majoritárias. Depois de escolher para si o título de "comissão para elaboração do Tratado de análise”, marcaram a data da próxima reunião. Nesta segunda reunião, o Comitê decidiu limitar a adesão em nove matemáticos, os seis que já foram listados anteriormente e Paul Dubreuil, Jean Leray e Szolem Mandelbrojt. Dubreil e Leray, no entanto, não participaram por muito tempo. Charles Ehresmann foi convidado para substituir Leray, enquanto Jean Coulomb (colega de Física de Mandelbrojt e de Possel em Clermont-Ferrand) foi convidado a substituir Dubreil.


O nome de Bourbaki surgiu emprestado por Raoul Husson em 1923, durante um trote (André Weil era aluno da École Normale Supérieur). Uma grande conferência foi amplamente divulgada, incentivando todos os calouros a participar. O apresentador foi Husson, um estudante veterano, que se disfarçou como matemático de um ar distinto. Ele apareceu com aparência de um matemático barbudo, chamado Professor Holmgren, para ministrar a falsa conferência, deliberadamente incompreensível, com raciocínios sutilmente falsos. Husson apresentou o seminário com um forte sotaque estrangeiro, para “dourar a pílula”. Ele apresentou uma série de teoremas, todos errados, cada um sendo atribuído a um falso matemático inventado. Os nomes dos teoremas foram escolhidos de uma lista de generais franceses, e o teorema que culminava a apresentação e o mais burlesco, ele chamou de "teorema de Bourbaki", levando o nome do general Bourbaki. Este tipo de humor divertiu todos os membros do grupo de elaboração do Tratado de Análise que o nome "Bourbaki" foi adotado. Bourbaki tornou-se então o nome da pena dos jovens matemáticos dispostos a publicar um trabalho enciclopédico cobrindo a maior parte da matemática moderna.


Nesta circunstância, a tarefa de construir uma lista de tópicos para o “Tratado de análise” foi dividida entre várias subcomissões. Uma decisão que se revelou uma característica da filosofia do grupo é a de que deveria haver a participação de não-especialistas em cada subcomissão (uma ideia bem apropriada! - e feliz), a maioria das quais com três membros. Um grande número de subcomissões foi constituído, devendo abranger os seguintes temas: álgebra, funções analíticas, a teoria da integração, equações diferenciais, teoremas de existência para equações diferenciais, equações diferenciais parciais, diferenças e formas diferenciais, cálculo de variações, funções especiais, a geometria, a série de Fourier, e representações de funções. Logo uma subcomissão sobre topologia foi adicionada. A matemática moderna partilha com Bourbaki o desejo de substituir os cálculos por ideias. "Distribui-se nomes de teoremas como se distribuem nomes de ruas", teria dito Weil!

 
No verão de 1935, o grupo já havia decidido que iria escrever sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki. Sabe-se que o nome provém de Charles Soter Bourbaki (1816-1897), um general francês que lutou na guerra franco-prussiana de 1870. Parece que Nicolas foi uma referência a um herói da Grécia antiga do qual o general Bourbaki era descendente.


Outro episódio que ilustra o humor dos seus membros, no que tange ao apelido escolhido, é a sua reação a uma nota escrita por RP Boas, editor do Mathematical Reviews. Boas disse a leitores que Nicolas Bourbaki era o pseudônimo de um grupo de jovens matemáticos franceses. Pouco depois, o editor recebeu uma carta muito veemente de M. Nicolas Bourbaki, opondo-se ferozmente que alguém tenha ousado duvidar de sua real existência.


O primeiro “Simpósio Bourbaki” foi realizado em Besse-en-Chandesse em julho de 1935. Foi a primeira do que seria uma série de reuniões regulares, geralmente, trimestrais. A descrição dessas convenções pelos membros fundadores de Bourbaki é fascinante. Dieudonné escreveu que a impressão de qualquer participante de primeira viagem, seria:

 

 

Eles não conseguiriam conceber como pessoas, gritando -às vezes três ou quatro simultaneamente- poderiam chegar a algo consistente. Pode ser um enigma, mas no final, tudo funcionava.

 


André Weil também escreveu sobre a natureza anárquica (ah Pierre Proudhon! Já leram?) do Congresso:



 

      [Mantivemos] em nossas discussões, o caráter desorganizado. Em nenhuma reunião do grupo, nunca houve um presidente. Qualquer participante podia falar e todo mundo tinha o direito de interromper... A natureza anárquica dessas discussões foi mantida durante toda a existência do grupo... Uma boa organização seria provavelmente necessária para alocar um tema ou capítulo para cada um, mas a ideia de fazer tal coisa nunca nos ocorreu...

 


Houve, no entanto, algumas decisões claras tomadas pelo grupo Bourbaki sobre o modo de apresentação que definiram o modelo para o desenvolvimento de todo o trabalho. Primeiro, eles decidiram basear a sua apresentação de matemática sobre o método axiomático (uma adesão irrestrita). Henri Cartan explica as suas conseqüências:



 

A decisão de adotar o método axiomático trouxe consigo a necessidade de um novo arranjo de "vários ramos da matemática." Provou-se insustentável a manutenção da divisão clássica (análise, cálculo, geometria, álgebra, teoria dos números, etc.) Em seu lugar foi explorado o conceito de estrutura, o que permitiu a utilização de isomorfismo e com isto uma classificação inovadora das disciplinas de matemática.

 


Além disso, ficou decidido que Bourbaki nunca generalizaria partindo de casos particulares, mas que deveria sempre deduzir casos particulares a partir de casos mais gerais. A conseqüência dessa abordagem foi um forte controle sobre como a construção de matemática foi projetada. Para muitos, este foi um trunfo da abordagem lógica, mas para outros é uma grande fraqueza no contexto dos números reais (que têm um valor fundamental!).

Já em 1935, Bourbaki tinha tomado a decisão de produzir uma série de livros que foram ordenados em progressão linear, no sentido de que não poderia haver referências exceto em livros anteriores. Além disso, nenhuma referência exterior deveria ser feita. O grupo Bourbaki queria partir seus trabalhos do zero (fazer tabula rasa! - Sim, Sr. Descartes). A única exceção encontra-se nas notas históricas que eles incluíram. Embora os livros devessem ser linearmente ordenados, eles não foram publicados em ordem. No entanto, se as referências deveriam ser apenas os textos que foram lançados no início da seqüência, é necessário conhecer os primeiros livros para se dar ao luxo de prosseguir nos livros seguintes. Demorou mais do que os membros de Bourbaki tinham estimado em 1935 para que a matéria-prima fosse publicada, o que não ocorreu senão em 1939. Um título se fazia necessário. Armand Borel explica o título sutil que foi escolhido para a obra: Deve-se notar que eles escolheram "Matemática" em vez do usual "Matemáticas". A ausência do "s" foi, naturalmente, intencional, uma forma de Bourbaki para afirmar a sua crença na unicidade da matemática.



A primeira publicação foi um livro que contém a notação da teoria dos conjuntos. Eilenberg reviu este livro e escreveu:

 

 

  Bourbaki é um pseudônimo de um grupo de jovens matemáticos franceses que decidiram publicar uma obra enciclopédica, cobrindo a maior parte da matemática moderna. Esta edição é dedicada à teoria dos conjuntos. O objetivo é munir o leitor interessado em qualquer dos outros volumes do conjunto, do preparo acadêmico necessário, independentemente de uma abordagem axiomática e provas rigorosas e, de fato, o material é organizado de modo que a maioria das provas possa ser realizada sem dificuldades... A seção final descreve um método de tratamento estrutural, incluindo ordem, topologia, grupos, anéis, etc. sob bases gerais e tendo conceitos como isomorfismo definidos de modo bastante amplo.

 


Após o fim da Segunda Guerra Mundial, a França levou algum tempo para retomar a obra de Bourbaki, mas uma vez que os novos membros foram recrutados, ela avançou com um vigor renovado. Este autor Policefálico, acolheu nomes como René Thom, Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Serge Lang, Alexander Grothendieck, Alain Connes, Jean-Christophe Yoccoz. Ou seja, muitos dos ganhadores da Medalha Fields. Se você é de outra época (como eu), provavelmente, você se lembrará das mudanças decorrentes da introdução da matemática moderna no ensino colegial: teoria moderna dos conjuntos? Que diabo é isto? No entanto, apoiado pelos seus ideais nativos e conduzido pela aspiração de Weil, da escola Bourbaki cumpriu o seu destino. A influência dos Bourbaki não se ateve aos livros, mas também pela qualidade excepcional dos seus membros. Os nomes dos membros atuais (?) Bourbaki são mais ou menos mantidos em segredo ... Podemos concluir este artigo com algumas citações de Weil: "Se a lógica é a higiene da matemática, ela não é sua fonte de alimento", "No futuro, tal como no passado, grandes idéias devem simplificar idéias..."


REFERÊNCIAS

http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/jcfields/fields_medal.html 

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ 

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki 

[1] Nicolas Bourbaki, 1969, Elementos da história da matemática, Paris, Hermann, 323 p. (Reimpressão de 1997, Paris, Masson, ISBN 2-2258-0320-X).

 
[2] Jean Dieudonné, 1977, Panorama de Matemática Pura: a escolha Bourbáquica, Paris  Gauthier-Villars, 306 p. (Reimpressão de 2003, Paris, Éditions Jacques Gabay 306 p.)
http://www.gabay.com/PDF/Tarif2009.pdf (Grande Prêmio da radiação da língua francesa). Eu mesmo tive o grande prazer de conhecer o Sr. Gabay ... E lhe dizer bravo!


[3] Jean Dieudonné, 1978, Compêndio da História da Matemática: 1700-1900, Paris, Hermann, 2 vols. (Reimpressão de 1996, Paris, Hermann, 517 p., ISBN 2-7056-6024-0) Fantástico!


[4] Berger Marcel, de 2006, Cinco Séculos de Matemática na France, Ministério dos Negócios Estrangeiros, Direção de Cooperação Cultural e francês http://www2.ee.ufpe.br/codec/matematicosfranceses.pdf 


[5] Mireille Martin-Deschamps e Patrick Le Tallec, 2002, a explosão de Matemática (SMAI), ISBN 2-85629-120-1 http://www2.ee.ufpe.br/codec/smf-smai_explo-maths_en.pdf 


[6] Maurice Mashaal, 2000, Bourbaki, uma sociedade secreta dos matemáticos, Scientific American, "O gênio da ciência", No. 2, Fevereiro e Maio, Paris, 98 p., ISBN 1298-6079.

 
[7] Riehm Carl, 2002, "The Early History da Medalha Fields”, Notices of the American Mathematical Society, vol. 49, nº7, agosto de 2002, a Providência, p. 778-780.

nota:
A pedidos diversos e surpresas reiteradas “Quem é este tal, que nunca ouvi falar?” fui levado a introduzir a observação seguinte:
Para aqueles que desconhecem a sua enorme importância, basta citar «o livro de adição e subtração de acordo com o cálculo hindu»,
responsável através de traduções em Latim no Século XII, pela introdução dos algarismos hindo-arábicos no Ocidente.
Isso sem contar com "o livro da restauração e da conciliação" que legou o termo "álgebra"...
http://www.youtube.com/watch?v=_TEzsIAirgE&feature=related

 

 
Artigo de divulgação submetido ao: Pensée, Jornal da Aliança Francesa

Feito em Dezembro, Recife, 2010.


HM de Oliveira, um ex-aluno da École Nationale Supérieure, ENST Paris.